Question

设f（x）=x3-

1

2

x2-2x+5
（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导数，令导函数大于0，求出增区间，令导函数小于零，求出减区间；
（2）恒成立问题可转化成f（x）_max＜m即可可．函数在[-1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，解得x=1或-

2

3

，
令f′（x）＞0，解得x∈（-∞，-

2

3

），（1，+∞），
令f′（x）＜0，解得x∈（-

2

3

，1），
f（x）的单调递增为（-∞，-

2

3

），（1，+∞），递减区间为（-

2

3

，1）．
（2））∵f（-1）=5

1

2

，f（-

2

3

）=5

22

27

，f（1）=3

1

2

，f（2）=7；
即f（x）_max=7，
要使x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，即f（x）_max＜m，
∴m＞7，
故实数m的取值范围为（7，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理，注意利用好导数工具，导数经常用来研究函数的单调性和最值．属于中档题．