Question

【题目】函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：在上是单调增函数；

（Ⅲ）若，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）利用赋值法即可求出的值；

（2）利用函数单调性的定义以及指数函数的性质，即可证明；

或者构造函数利用指数函数的单调性即可证明；

（3）构造基本不等式的模型，利用不等式性质即可证明．

解法一：

(Ⅰ)令得：

因为，所以；

（Ⅱ）任取且设则

因为，所以，

所以在上是单调增函数；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因为

又，

所以

所以

解法二：

(Ⅰ)因为对任意，有，且对任意，

所以，当时

故．

（Ⅱ）因为，所以

所以在上是单调增函数，即在上是单调增函数

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

而，所以

所以