Question

设计一个体积为V的圆锥形雪糕筒，要使其侧面积用料最省，则雪粒筒的底面半径r=

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：设雪粒筒的底面半径r，高为h，通过V=

1

3

πr2h，求出h的表达式，求出侧面积，利用均值不等式求出侧面积的最值即可．

解答： 解：设雪粒筒的底面半径r，高为h，则V=

1

3

πr2h，有h=

3V

πr2

，
侧面积S=

1

2

×2πr

h2+r2

=πr

h2+r2

=πr

9V2 π2r4 +r2

．
令f（r）=S²=π2r2(

9V2

π2r4

+r2)，
令t=r²，f（r）=g（t）=π2t2+

9V2

t

(t＞0)，
g（t）=π2t2+

9V2

2t

+

9V2

2t

≥3

3	π2t2• 9V2 2t • 9V2 2t

=3V

3	81π2V 4

=

3V

2

162π2V

，
当且仅当π2t2=

9V2

2t

，即t=

3	9V2 2π2

时，g（t）有最小值，
即r=t=

6	9V2 2π2

时，f（r）有最小值．
故答案为：

3V

2

162π2V

．

点评：本题考查旋转体的表面积以及基本不等式求解函数的最值的方法，考查计算能力．