Question

（14分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。   （1）求a₁和a₂的值；   （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；   （3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n。

 

Answer 1

【答案】

（1）a₁=2，a₂=4（2）a_n=2ⁿ  b_n=2n-1（3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6  

【解析】（1）∵a_n是S_n与2的等差中项∴S_n=2a_n-2               。。。。1

∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2               。。。。2

            a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4      。。。         。3

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

    又S_n—S_n-1=a_n，                 。。。。5

    ∴a_n=2a_n-2a_n-1，     ∵a_n≠0，∴，。。6

即数列{a_n}是等比数列∵a₁=2，∴a_n=2^{n                                  。。。。7}

    ∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，   。。  。8

   ∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，     9分                （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ

    ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，

    ∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

    因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

    即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

    ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                       ··14分