Question

如下图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，D为CC₁的中点。

（1）求异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值；

（2）试在线段AB上找一点E，使得：A₁E⊥AD；

（3）求点D到平面B₁C₁E的距离。

Answer 1

解：（1）在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，

（1）∵，

∴（或其补角）为异面直线AD与A₁B₁所成的角，

连结BD，在中，∵AC=4，

∴，

在中，∵BC=3，CD=2，∴，

在△ABD中，∵AB=5，

∴异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值为

（2）证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴，

∵底面ABC⊥侧面ACC₁A₁，∴BC⊥侧面ACC₁A₁，

取AB、AC的中点E、F，连结EF、A₁F，则EF//BC，

∴EF⊥平面ACC₁A₁，  ∴A₁F为A₁E在侧面AC₁内的射影，

在正方形C₁CAA₁内，∵ D、F分别为CC₁、AC的中点，

∴≌，∴，

∴，∴，

∴（三垂线定理）

（3）连结，过D作DH⊥，垂足为H。

∵EF//BC，BC//B₁C₁，∴EF// B₁C₁，∴点F在平面B₁C₁E内。

∵EF⊥平面ACC₁A₁，平面ACC₁A₁，EF⊥DH，

∵，，∴DH⊥平面B₁C₁E。

在中，∵，∴。