Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若在区间内有唯一的零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值，无极大值.（2）

【解析】分析：⑴当时，化简函数的解析式，求出定义域，函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解极值即可

⑵法一：利用，通过导函数为，构造新函数，通过分类讨论求解即可

法二：令，由，得，设，则，，问题转化为直线与的图象在恰有一个交点问题，即可求出的取值范围

详解：（1）当时，，，

，

由，令，得，

当变化时，，的变化如下表：

	-	0	+
	↘	极小值	↗

故函数在单调递减，在单调递增，有极小值，无极大值.

（2）解法一：

，

令，得，设，

则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点，

当时，方程的解为，满足题意；

当时，由函数的图象的对称轴，函数在上单调递增，且，，所以满足题意；

当，时，，此时方程的解为，不符合题意；

当，时，由，只需，得，

综上，.

解法二：

，

令，由，得，

设，则，，

问题转化为直线与的图象在恰有一个交点问题，

又当时，单调递增，

故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当.