Question

（2012•芜湖二模）设函数f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-2，求a，b的值．
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，根据已知条件函数f（x）在x=-1处取得极值-2，可得f′（-1）=0，和f（-1）=2，分别解出a，b的值；
（2）需要对b进行讨论：b≤0和b＞0两种情况，利用导数研究函数的单调性，根据f′（x）＞0在区间（-1，1）内大于0，求出b的范围；

解答：（1）∵函数f(x)=

ax

x2+b

(a＞0)
函数f（x）在x=-1处取得极值-2，
f′(x)=

a(b-x2)

(x2+b)2

依题意：

f′(-1)=0 f(-1)=-2

⇒

a=4 b=1

…（6分）
（2）f′(x)=

-a(x2-b)

(x2+b)2

，
∵a＞0，
∴当b≤0时f'（x）≤0，函数f（x）在（-1，1）内不可能增，舍去；
当b＞0，时
f′(x)=

-a(x+ b )(x- b )

(x2+b)2

若x∈(-

b

，

b

)时
f'（x）＞0，
f（x）递增，
∴(-1，1)⊆(-

b

，

b

)
∴

- b ≤-1 b ≥1

⇒b≥1，
故所求范围为[1，+∞）…（12分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的极值问题，是一道基础题，比较简单，解题过程中用到了分类讨论的思想；