Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈［0，］，都有f（x₁＋x₂）=f（x₁）·f（x₂）.

（1）设f（1）=2，求f（），f（）；

（2）证明f（x）是周期函数；

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：由f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2），x1，x2∈［0，］知 f（x）=f（）·f（）≥0，x∈［0，1］，∵f（1）=f（+）=f（）·f（）= [f（）]2，f（1）=2，∴f（）=2． ∵f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（）=2， ∴f（）=2． （2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称， ∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x） 又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x）， ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．