Question

已知函数f(x)=cos(x-

2π

3

)-mcos(x+

2π

3

)（m∈R）的图象经过点p（0，0）
（I） 求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由函数图象经过P点，把P的坐标代入函数解析式中，利用特殊角的三角函数值化简后，求出m的值，确定出函数解析式，并利用和差化积公式化简为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把x=B代入第一问化简后的函数解析式中，令f（B）=

3

2

，可得出sinB的值，由b小于c得到B为锐角，可得出B的度数，进而确定出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，利用三角形的内角和定理可得出A的度数，即可确定出三角形ABC的形状．

解答：解：（I）将点P（0，0）代入函数解析式得：cos（0-

2π

3

）-mcos（0+

2π

3

）=0，
即-

1

2

（1-m）=0，解得：m=1，
∴f(x)=cos(x-

2π

3

)-cos(x+

2π

3

)
=-2sin

x- 2π 3 +x+ 2π 3

2

sin

x- 2π 3 -x- 2π 3

2

=

3

sinx，
∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π，
则函数f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）f（B）=

3

sinB=

3

2

⇒sinB=

1

2

，
∵c＞b，∴B=

π

6

，
又b=1，c=

3

，
∴sinC=

csinC

b

=

3

2

，
∴C=

π

3

，或C=

2π

3

，
当C=

2π

3

时，A=B，而已知a＞b，得到A＞B，
故C=

2π

3

不合题意，舍去，
∴C=

π

3

，
∴A=π-（B+C）=

π

2

，
则△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角形形状的判断，涉及的知识有：积化和差公式，正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．