题目内容
设函数f（x）在R上是可导的偶函数，且满足f （x-1）=-f （x+1），则曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为（ ）
| A．-1 | B．0 | C．1 | D．2 |
由f （x-1）=-f （x+1），
得f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
所以函数y=f（x）的周期为4．
因为周期为4的可导偶函数的导数是周期为4的奇函数，
所以曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为
f′（10）=f′（2）．
因为f（x）=-f（x+2），
所以f′（x）=-2f′（x+2），
所以f′(2)=-
f′(0)=0．
故f′（10）=0．
故选B．
得f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
所以函数y=f（x）的周期为4．
因为周期为4的可导偶函数的导数是周期为4的奇函数，
所以曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为
f′（10）=f′（2）．
因为f（x）=-f（x+2），
所以f′（x）=-2f′（x+2），
所以f′(2)=-
| 1 |
| 2 |
故f′（10）=0．
故选B．
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