Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（

2

3

，0），且f（

1

3

）=-

1

3

，数列{a_n} 的前n项的和为S_n，点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）设b_n=

an

2n

，求数列 {b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由条件列方程组，解之即可；（2）由点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上，可得S_n=3n²-2n，由a_n=S_n-S_n-1可得答案；
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n=

an

2n

=

6n-5

2n

，由错位相减法求和即可．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）…（1分）
由条件可知

f(0)=0 f( 2 3 )=0 f( 1 3 )=- 1 3

，…（2分）
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x²-2x．…（4分）
（2）又点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上，则S_n=3n²-2n…（5分）
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5…（6分）
对于上式，当n=1时，也有a₁=1，…（7分）
所以通项公式为a_n=6n-5…（8分）
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n=

an

2n

=

6n-5

2n

…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

6-5

2

+

6×2-5

22

+

6×3-5

23

+…+

6×(n-1)-5

2n-1

+

6n-5

2n

    ①
①×

1

2

得，

1

2

Tn=

6-5

22

+

6×2-5

23

+

6×3-5

24

+…+

6×(n-1)-5

2n

+

6n-5

2n+1

  ②---（11分）
①-②有

1

2

Tn=

1

2

+

6

22

+

6

23

+…+

6

2n

-

6n-5

2n+1

=

1

2

+6

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

6n-5

2n+1

=

7

2

-3(

1

2

)n-1-

6n-5

2n+1

--------------------（13分）
∴T_n=7-3(

1

2

)n-2-

6n-5

2n

=7-

6n+7

2n

--------------------（14分）

点评：本题考查数列的求和，涉及函数解析式的求解及错位相减法求和，属中档题．