Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥BC；
（3）求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理即可得出；
通过建立空间直角坐标系：（2）只要证明

EF

•

BC

=0．即可得到EF⊥BC．（3）利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BC∥AD．
又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD；
（2）证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），P（0，0，1），E(

1

2

，0，0)，F(

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
∴

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

BC

=（-1，0，0），∴

EF

•

BC

=0．
∴EF⊥BC．
（3）由（2）可得：

AC

=（-1，1，0），

AP

=（-1，0，1）．
设平面ACP的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AC =-x+y=0 n • AP =-x+z=0

，令x=1，则y=z=1，∴

n

=(1，1，1)．
取平面APD的法向量为

m

=(0，1，0)．
则cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

1

3

=

3

3

．即为所求．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用数量积等于0证明直线垂直、利用两个平面的法向量的夹角公式得出二面角的余弦值、线面平行的判定定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．