Question

函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(

x

2

-

π

4

)，x∈[

π

6

，

2π

3

]，a∈R
（1）当a=-4时，求函数f（x）的最大值；
（2）设g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-4时，利用三角函数公式可将f（x）化为：f（x）=-2（sinx-1）²-1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，从而可求函数f（x）的最大值；
（2）由g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）可得

3

2

a²-a≥cos2x，x∈[

π

6

，

2π

3

]恒成立，从而可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵a=-4
∴f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(

x

2

-

π

4

)
=cos2x-4（1-cos（x-

π

2

））
=1-2sin²x+4sinx-4
=-2（sinx-1）²-1，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴

1

2

≤sinx≤1，当sinx=1时，f（x）取得最大值-1，
∴函数f（x）的最大值为-1；
（2）∵g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，
∴-a（sinx-

3

2

a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，
即

3

2

a²-a≥cos2x，x∈[

π

6

，

2π

3

]恒成立，
而x∈[

π

6

，

2π

3

]时，（cos2x）_max=cos

π

3

=

1

2

，
∴即

3

2

a²-a≥

1

2

，
∴a≥1或a≤-

1

3

．
实数a的取值范围为（-∞，-

1

3

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查三角函数的化简求值，难点在于（2）含参数的条件的转化与应用，突出考查三角函数公式的综合运用与恒成立问题，属于难题．