Question

设F为抛物线y=-

1

4

x2的焦点，该抛物线在点P（-4，-4）处的切线l与x轴的交点为Q，则△PFQ的外接圆的方程为

(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

．

Answer 1

分析：确定抛物线的焦点与在点P（-4，-4）处的切线，求出Q的坐标，再利用PQ⊥QF，即可求得△PFQ的外接圆的方程．

解答：解：抛物线y=-

1

4

x2的焦点F（0，-1）
求导函数可得y′=-

1

2

x，当x=-4时，y′=-

1

2

× (-4)=2
∴抛物线在点P（-4，-4）处的切线为y+4=2（x+4），即2x-y+4=0
令y=0，可得x=-2，∴Q（-2，0）
∵kQF=

-1

2

=-

1

2

，k_PQ=2
∴PQ⊥QF
∴△PFQ的外接圆的直径为PF
∵P（-4，-4）、F（0，-1）
∴圆心坐标为（-2，-

5

2

），半径为

5

2

∴△PFQ的外接圆的方程为(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

故答案为：(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

点评：本题考查抛物线的性质与切线，考查三角形的外接圆，解题的关键是求出抛物线的切线，确定三角形三个顶点的坐标．