Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ ．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）判断函数f（x）在（0， ）和（ ，+∞）上的单调性并用定义法证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）=x2+ ，则其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

f（﹣x）=（﹣x）2+ =x2+ =f（x），

故函数f（x）为偶函数

（2）解：根据题意，函数f（x）在（0， ）为减函数，在（ ，+∞）上为增函数；

证明如下：

设0＜x1＜x2＜ ，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（ ）﹣（x2）2+（ ）

=[（x1）2﹣（x2）2][ ]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][ ]，

又由0＜x1＜x2＜ ，

则f（x1）﹣f（x2）＞0，

则f（x）在（0， ）为减函数，

同理设 ＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1）2+（ ）﹣（x2）2+（ ）

=[（x1）2﹣（x2）2][ ]=[（x1﹣x2）（x1+x2）][ ]，

又由 ＜x1＜x2，

分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，

则f（x）在（0， ）为增函数

【解析】（1）、根据题意，先分析函数的定义域，进而求出f（﹣x），分析与f（x）的关系，即可得证明；（2）、根据题意，分析可得函数f（x）在（0， ）为减函数，在（ ，+∞）上为增函数；进而利用作差法证明即可．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．