Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）求证：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，

单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的导函数，然后根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）中时的单调性可知，从而构造函数，然后通过求导得到函数的单调性，由此得到函数的最大值，再由对任意的恒成立，得，由此求得的值；（Ⅲ）首先根据（Ⅱ）将问题转化为 ，进而将问题等价转化为证．

试题解析：（Ⅰ）

时，，在上单调递增；

时，时，，单调递减，

时，，单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ），时，，

，

即，记 ．

，

在上增，在上递减，

，

故，得．

（Ⅲ）由（Ⅱ），即 ，则时，．

要证原不等式成立，只需证：，即证：

下证①

①中令，各式相加，得

成立，

故原不等式成立.

方法二：时，，

时， ，

时， ．