Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•（x₁-x₂）
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-1，1]上为增函数．
∵f（1）=1，∴对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∵t∈[0，1]，
∴t≠0时2a≤t，即a≤

t

2

，解得a∈（-∞，0]．
t=0时，a∈R，
综上，a∈（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．