Question

污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y=，其中k＞0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值. 由题设得：4b＋2ab＋2a=６0  （a＞0，b＞0） 即a＋2b＋ab=30  （a＞0，b＞0) ∵a＋2b≥2  ∴2＋ab≤30 当且仅当a=2b时取“=”号，ab有最大值. ∴当a=2b时有2＋ab=30 即b2＋2b－1５=0 解之得：b 1=3，b2=－５（舍去) ∴a=2b=６ 故当a=６米，b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少. 解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a=６0（a＞0，b＞0） ∴a＋2b＋ab=30        （a＞0，b＞0） ∴b=        （0＜a＜30） 由题设：y=，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值. ∴y= = ≥ ∴当且仅当a＋2=时取“=”号，即a=６，b=3时ab有最大值18. 故当a=６米，b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.