Question

已知函数f（x）=4sin²（x+）+4sin²x-（1+2），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称中心；
（2）求函数f（x）在区间[]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：首先充分利用三角函数公式把原函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B形式；
（1）由T=求最小正周期；由正弦函数y=sinx的对称中心（kπ，0），求f（x）的对称中心；
（2）由f（x）的定义域利用正弦函数求y=sin（ωx+φ）的值域，然后求f（x）的值域．
解答：解：f（x）=4sin²（x+）+4sin²x-（1+2）
=2[1-cos（2x+）]-2cos2x-1
=2sin2x-2cos2x+1=4sin（2x-）+1．
（1）函数f（x）的最小正周期是T==π．
由sin（2x-）=0得2x-=kπ，∴x=+，
所以函数f（x）的图象的对称中心是（+，1）（其中k∈Z）．
（2）当x∈[]时，
2x-∈[]，
sin（2x-）∈[]，
4sin（2x-）+1∈[3，5]，
所以函数f（x）在区间[]上的值域是[3，5]．
点评：本题考查诱导公式、倍角公式、差角公式及函数y=Asin（ωx+φ）+B的性质．