Question

已知函数f（x）=

x2

3

，g（x）=t

2

3

x-

2

3

t．
（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间：
（2）求证：当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立；
（3）若存在正实数x₀，使得g（x₀）≤4x₀-

16

3

对任意正实数t都成立，请直接写出满足这样条件的-个x₀的值（不必给出求解过程）．

Answer 1

分析：（1）求导，利用导数求函数的单调区间．
（2）利用导数求函数的最值．
（3）由（2）直接写出满足条件的x₀的值．

解答：解：（1）当t=8时，g（x）=4x-

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3

，y=f（x）-g（x）=

x3

3

-4x+

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3

，
y'=x²-4，由y'＞0，得x＞2或x＜-2，
由y'＜0，得-2＜x＜2，
即函数y=f（x）-g（x）的单调的递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
单调递减区间为（-2，2）．
（2）设h（x）=f（x）-g（x），
则h′(x)=f′(x)-g′(x)=x2-t

2

3

，由h′(x)=x2-t

2

3

=0得x=t

1

3

．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（0，t 1 3 ）	t 1 3	（t 1 3 ，+∞）
h'（x）	-		+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以h（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值h(t

1

3

)，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t

1

3

)=0．
故当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．
（3）若存在正实数x₀=2使得g（x₀）≤4x₀-

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3

对任意正实数t都成立．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，综合性较强，运算量较大．