Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通向公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

a2-1

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n，求证：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由题意知a₁=3，n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n，即可求出通项公式；
（II）先由（1）求得数列{b_n}的通项公式并整理成b_n=

1

4

-（

1

n

-

1

n+1

），然后利用列项求和求出Tn=

1

4

（1-

1

n+1

）求出数列{b_n}的前n项和Tn＜

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（（n-1）²+2（n-1））=2n+1
当n=1时上式也成立，
故数列数列{a_n}的通向公式为a_n=2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
所以b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

-

1

n(n+1)

=

1

4

-（

1

n

-

1

n+1

），
所以Tn=

1

4

-（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

即数列{b_n}的前n项和Tn＜

1

4

．

点评：本题考查了数列的求和以及等差数列的通项公式，此题采取裂项的方法求和，属于基础题．