题目内容

如图，△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，记△OAB位于直线x=t（0≤t≤4）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式及f（1）的值；
（2）若 $数学公式$ 时，求t的值．

解：（1）当0＜t≤2时，
如图，设直线x=t与△OAB的OA，OB分别交于C、D两点，
因为△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，并且|OC|=t，
所以|CD|=t．
f（t）= $\text{[math]}$ |OC|•|CD|= $\text{[math]}$ •t•t= $\text{[math]}$ t²．
当2＜t≤4时，设直线x=t与△OAB的AB，OA分别交于M、N两点，则|AN|=4-t，
因为△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，
所以△OAB的面积为：S△OAB= $\text{[math]}$ ×4×2=4．
又因为|AN|=4-t，
所以|MN|=4-t．
所以f（t）=4- $\text{[math]}$ •|AN|•|MN|=4- $\text{[math]}$ （4-t）²=- $\text{[math]}$ t²+4t-4．
所以f（t）= $\text{[math]}$ ．
∴f（1）= $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，由（1）可得：
当0＜t≤2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴t∈∅；
当2＜t≤4时，- $\text{[math]}$ t²+4t-4= $\text{[math]}$ ，∴t=3．
综上，t=3．
分析：（1）求f（t）的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分段，然后分段求出函数的解析式．
（2）结合分段函数的解析式，再利用分类讨论即可求出t的值．
点评：解决分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式，对于分段函数，注意处理好各段的端点，分段函数的图象也是分段进行．