Question

如图，△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，记△OAB位于直线x=t（0≤t≤4）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式及f（1）的值；
（2）若f(t)=

7

2

时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）求f（t）的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分段，然后分段求出函数的解析式．
（2）结合分段函数的解析式，再利用分类讨论即可求出t的值．

解答：解：（1）当0＜t≤2时，
如图，设直线x=t与△OAB的OA，OB分别交于C、D两点，
因为△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，并且|OC|=t，
所以|CD|=t．
f（t）=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

•t•t=

1

2

t²．
当2＜t≤4时，设直线x=t与△OAB的AB，OA分别交于M、N两点，则|AN|=4-t，
因为△OAB是斜边长为4的等腰直角三角形，
所以△OAB的面积为：S△OAB=

1

2

×4×2=4．
又因为|AN|=4-t，
所以|MN|=4-t．
所以f（t）=4-

1

2

•|AN|•|MN|=4-

1

2

（4-t）²=-

1

2

t²+4t-4．
所以f（t）=

1 2 t2，0＜t≤2 - 1 2 t2+4t-4，2＜t≤4

．
∴f（1）=

1

2

；
（2）若f(t)=

7

2

，由（1）可得：
当0＜t≤2时，

1

2

t2=

7

2

，∴t∈∅；
当2＜t≤4时，-

1

2

t²+4t-4=

7

2

，∴t=3．
综上，t=3．

点评：解决分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式，对于分段函数，注意处理好各段的端点，分段函数的图象也是分段进行．