Question

数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n．

(1)写出a₂、a₃、a₄；

(2)猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令n＝2，∵a1＝，∴S2＝a2， 　　即a1＋a2＝3a2．∴a2＝． 　　令n＝3，得S3＝a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝． 　　令n＝4，得S4＝a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝． 　　(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明． 　　①当n＝1时，a1＝结论成立． 　　②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝， 　　则当n＝k＋1时，Sk＝ak＝， 　　Sk+1＝， 　　即Sk＋ak+1＝． 　　∴． 　　∴ak+1＝． 　　∴当n＝k＋1时结论成立． 　　由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立． 　　思路分析：研究数列问题，可先由前n项归纳猜想，再证明．

提示：

由递推关系或前n项和公式求通项可求出前n项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式．