题目内容

已知△OFQ的面积为S，且·＝1．

　　（1）若＜S＜2，求向量与的夹角q 的取值范围；

　　（2）设＝c（c≥2），S＝c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|｜取得最小值时，求此椭圆的方程．

 

答案：
解析：

解  （1）由已知，得

　　｜｜·｜｜sin（p －q ）＝S，

　　且｜｜·｜｜cosq ＝1，tanq ＝2S，

　　∴  ＜S＜2，

　　∴  1＜tanq ＜4，则  ＜q ＜arctan4．

　　（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．

　　设椭圆方程为（a＞0，b＞0），Q的坐标为（，），则＝（－c，）．

　　∵  △OFG的面积为｜｜·｜｜＝c，

　　∴  ｜｜＝．

　　又由·＝（c，0）·（－c，±）

　　              ＝（－c）c

　　              ＝1，

　　得＝c＋，

　　｜｜

　　        ＝（c≥2）．

　　当且仅当c＝2时，｜｜最小，此时Q的坐标为（，）．

　　由此可得，解得，

　　故椭圆方程为．

　点评  有关长度、角度和垂直的问题都可以用向量的数量积处理．

 


练习册系列答案
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精英家教网已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）当
6
＜m＜4
6
时，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；
（2）设|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
精英家教网如图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范围；
（Ⅱ）设|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
OQ
|取最小值时，求椭圆的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．

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