Question

如图，已知△OFQ的面积为S，且

OF

•

FQ

=1．
（Ⅰ）若

1

2

＜S＜

3

2

，求＜

OF

，

FQ

＞的范围；
（Ⅱ）设|

OF

|=c(c≥2)，S=

3

4

c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|

OQ

|取最小值时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令＜

OF

，

FQ

＞=θ，由题设知|

OF

| |

FQ

| =

1

cosθ

，S=

1

2

tanθ，∵

1

2

＜S＜

3

2

，∴1＜tanθ＜

3

，由此可求出＜

OF

，

FQ

＞的范围．．
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知

OF

•

FQ

=c(m-c)=1.m=c+

1

c

，Q(c+

1

c

，

3

2

)．由此知|

OQ

|2 =(c+

1

c

)2+

9

4

，由此入手，当|

OQ

|取最小值时，能够求出椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）令＜

OF

，

FQ

＞=θ，
∵

OF

•

FQ

=1，∴|

OF

| |

FQ

| cosθ=1，∴|

OF

| |

FQ

| =

1

cosθ

，
∵S=

1

2

|

OF

| |

FQ

| sin(π-θ)=

1

2

|

OF

| |

FQ

| sinθ，
∴S=

1

2

tanθ，∵

1

2

＜S＜

3

2

，∴1＜tanθ＜

3

，
∵θ∈[0，π]，∴

π

4

＜θ＜

π

3

．

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且

S= 1 2 cn S= 3 4 c

，∴n=

3

2

．
∵

OF

=(c，0)，

FQ

=(m-c，n)，
∴

OF

•

FQ

=c(m-c)=1．
∴m=c+

1

c

，∴Q(c+

1

c

，

3

2

)．
∴|

OQ

|2 =(c+

1

c

)2+

9

4

，
∵c≥2，
∴当c=2时，|

OQ

|最小，此时Q（

5

2

，

3

2

），
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴

c2=4=a2-b2 ( 5 2 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1

，
∴a²=10，b²=6．
∴所求椭圆为

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．