Question

如图,在四面体ABCD中,AB=AD=,BC=CD=3,AC=,BD=2.

(1)平面ABD与平面BCD是否垂直?证明你的结论.

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

(3)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.

Answer 1

(1)解:平面ABD⊥平面BCD.证明如下:

设BD的中点为E,连结AE,CE.

∵AB=AD,∴AE⊥BD.同理,CE⊥BD.

∴AE=,

CE=.

又AC=,∴AC²=AE²+CE².

∴∠AEC=90°.

∴AE⊥EC.

又AE⊥BD,

∴AE⊥平面BCD.

又AE平面ABD,

∴平面ABD⊥平面BCD.

(2)解:作EF⊥CD于点F,连结AF.

∵AE⊥平面BCD,由三垂线定理得AF⊥CD,

∴∠AFE就是二面角ACDB的平面角,

EF=ED·sin∠EDF=ED·.

∴tan∠AFE=,

即二面角ACDB的正切值为.

(3)解法一:取AB的中点M,AC的中点N,连结MN,ME,NE,则MEAD,MNBC.

∴∠NME是异面直线BC与AD所成的角或其补角.

∵MN=BC=,ME=AD=,NE=AC=,

由余弦定理,cos∠NME=＞0,

∴∠NME为锐角.

∴∠NME就是异面直线BC与AD所成的角,其余弦值为.

解法二:在平面BCD内作?BCGD,连结AG,则DG∥BC,

∴∠ADG是直线BC与AD所成的角或其补角.

∵BD∥CG,EC⊥BD,∴EC⊥CG.

又∵AE⊥平面BCD,

∴AC⊥CG,CG=BD=2,DG=BC=3.

在Rt△ACG中,AG=,

cos∠ADG=,

∴直线BC与AD所成角的余弦值为.