Question

函数f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

) ，  x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：先对函数f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）利用诱导公式以及辅助角公式进行化简整理得到 f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)；
（1）直接代入周期的求法公式即可；
（2）先由f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求出Sinα和cosα的值；再对cos(2α+

π

4

)利用两角和的余弦公式展开，把所求Sinα和cosα的值代入即可得到结论．

解答：解：∵f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）
=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin（

x

2

+

π

4

）．
∴f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）∴T=

2π

1 2

=4π．
（2）由f（α）=cos

α

2

+sin

α

2

=

2 10

5

．
两边平方整理得：1+sinα=

8

5

，所以sinα=

3

5

．
又因为α∈( 0 ， 

π

2

)
∴cosα=

1-sin 2α

=

4

5

．
∴cos（2α+

π

4

）=

2

2

（cos2α-sin2α）
=

2

2

[（cos²α-sin²α）-2sinαcosα]
=

2

2

[（(

4

5

)2-(

3

5

)2）-2×

4

5

×

3

5

]
=-

17 2

50

．

点评：本题主要考查运用诱导公式化简求值以及三角函数的周期性及其求法．是对三角函数的常用结论以及公式的综合考查，做这一类型题目，需要熟练掌握公式．