题目内容

(1)已知函数f(x)满足2xf(x)-3f(x)-x2+1=0,求f(x)的表达式;

(2)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f()+x,求f(x)的表达式.
答案：
解析：

 思路分析:题(1)可看成是关于f(x)的方程,通过解方程可解得f(x)的表达式;题(2)应注意到等式f(x)=2f()+x,一方面此等式反映出f(x)与f()之间的等量关系,这种等量关系可看作是关于f(x)与f()的方程;另一方面此等式是对(0,+∞)内的一切实数x均成立,故将此等式中的x换成后,相应的等式也应该成立,从而可通过列方程组求解.

解:(1)∵2xf(x)-3f(x)-x2+1=0,∴(2x-3)f(x)=x2-1.

又∵x=时,方程左边=-+1=-≠0,

∴x=时,f(x)无意义.当x≠时,f(x)=.

(2)∵x≥0时,有f(x)=2f()+x, ①

而x≥0时, ≥0,∴f()=2f(x)+ . 　　　 　　　②

①②联立解得f(x)=-为所求.

说明:方程及方程思想是初等数学中的两个重点内容,利用解方程或方程思想去解决数学问题是我们常用的绿色通道.本题要注意等式f(x)=2f()+x是个恒等式,一方面要明确它反映出f(x)与f()之间的等量关系即方程,另一方面要注意f(x)与f()中的x与是互为倒数的关系.


练习册系列答案
相关题目
1已知函数f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)，g(x)=2
b(1+x2)
，a，b∈R，且g（0）=2，f(
3
)=2-
3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）为定义在R上的奇函数，且满足下列性质：①h（x+2）=-h（x）对一切实数x恒成立；②当0≤x≤1时h(x)=
1
2
[-f(x)+log2g(x)]．
（ⅰ）求当-1≤x＜3时，函数h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-
1
2
在区间[0，2012]上的解的个数．
(1)已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),a、b∈R,且f(2)=p,f(3)=q,求f(36)的值;

(2)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π).

仔细阅读下面问题的解法：

    设A=[0, 1],若不等式21-x-a＞0在A上有解,求实数a的取值范围。

    解：由已知可得  a ＜ 21-x

        令f(x)= 21-x ,∵不等式a ＜21-x在A上有解,

        ∴a ＜f(x)在A上的最大值.

        又f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)max =f(0)=2.  ∴实数a的取值范围为a＜2.

研究学习以上问题的解法，请解决下面的问题：

(1)已知函数f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1)，求f(x)的反函数及反函数的定义域A；

(2)对于(1)中的A，设g(x)=，x∈A,试判断g(x)的单调性(写明理由，不必证明)；

(3)若B ={x|＞2x+a–5}，且对于(1)中的A，A∩B≠F，求实数a的取值范围。

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；

(2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

 

 [番茄花园1] 已知函数f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是

（A）（1，10）  （B）(5，6)  （C）(10，12)  （D）(20，24)

 

 

二填空题：本大题共4小题，每小题5分。

 

 [番茄花园1]1.

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网