Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

【解析】

（1）求出的导数，求得切线的斜率，由得切点由点斜式方程可得切线的方程；

（2）（ⅰ）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可.

（ⅱ）先由 （ⅰ） 得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合，只需证明.再构造，结合单调性即可证明结论 ．

（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（2）（ⅰ）令 ，

∴，

由得，；由得，易知，为极大值点，

又时，当时，

即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.

由题意，只需满足，

∴的取值范围是：

（ⅱ）由题意知，，为函数 的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，

只需证明，而，

所以，只需证明.

令，则

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上为增函数，

所以，，∴成立.

所以，.