题目内容
已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+1+an•an+1-an=0．
（Ⅰ）求证：数列{
}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}前n项和Sn．
（Ⅰ）求证：数列{
| 1 |
| an |
（Ⅱ）求数列{
| 2n |
| an |
（Ⅰ）∵an+1+an•an+1-an=0，∴
=0，
∴
-
=1，
=1，
∴数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列．
=1+(n-1)×1=n，可得an=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．
| an+1+an•an+1-an |
| an•an+1 |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
∴数列{
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
| 1 |
| n |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
| 2n |
| an |
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．
练习册系列答案
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的大小，并加以证明．
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