题目内容
【题目】已知动圆
在圆
：
外部且与圆相切，同时还在圆
：
内部与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）记（1）中求出的轨迹为
，与
轴的两个交点分别为
、
，
是上异于、的动点，又直线
与轴交于点
，直线
、
分别交直线
于
、
两点，求证：
为定值．
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）由直线与圆相切，则
，则
点的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设
，分别求得直线
的方程，直线
的方程，分别求得点
和
的坐标，则
，即可求得
为定值；
方法二：设直线的斜率为
，直线的斜率为
，联立直线的方程与直线的方程，求出点
坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得
，
为定值．
（1）设动圆的半径为
，由已知得
，
，，
点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，
设椭圆方程：
（
），则
，
，则
，
方程为：
；
（2）解法一：设 ，由已知得
，
，则
，
，
直线的方程为：
，
直线的方程为：
，
当
时，
，
，
，
又
满足
，
，
为定值．
解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，
直线的方程为：
，
直线的方程为：
，
当时，，
，
,
联立直线和直线的方程，可得点坐标为
，
将点坐标代入椭圆方程
中,得
，
即
，
整理得
，
，，
为定值．
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