Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=2对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是增函数；
⑤f（4）=f（0）．
其中判断正确的命题个数是

3

．

Answer 1

分析：由题意y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），可以知道该函数的周期为2，再利用f（x）为偶函数且在[-1，0]上为增函数，可以由题意画出一个草图即可判断．

解答：解：因为f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函数的周期定义可知该函数的周期为2，由于f（x）为定义在R上的偶函数且在[-1，0]上为单调递增函数，所以由题意可以画出一下的函数草图为：

由图及题中条件可以得到：
①正确，周期T=2；
②由图可以知道该函数关于x=1对称，所以②不正确；
③由已知条件 y=f（x）是定义在R上的偶函数且在[-1，0]上是增函数，所以y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，故③错；
④f（x）在[1，2]上是增函数，故④正确；
⑤f（4）=f（0），正确．
故答案为：3

点评：本题考查了函数的周期性，对称性及有抽象函数式子赋值的方法，还考查了学生对于抽象问题的具体化及数形结合的思想．