Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1，
(Ⅰ)求四面体ABCD的体积；
(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

Answer 1

解：(Ⅰ)如图，过D作DF⊥AC于F， ∵平面ABC⊥平面ACD， ∴DF⊥平面ABC，则DF是四面体ABCD的面ABC上的高， 设CD中点为G， ∵AC=AD=2， ∴AG⊥CD， ∴， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴四棱锥ABCD的体积。 (Ⅱ)（几何法）过F作FE⊥AB于E，连结DE，由(Ⅰ)知DF⊥面ABC， 由三垂线定理知DE⊥AB，∴∠DEF为二面角C-AB-D的平面角， 在Rt△AFD中，， 在Rt△ABC中，FE∥BC，∴， ∴， 在Rt△EFD中，。