题目内容

已知数列{an}(n∈N*),满足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5.当n≥5时，an+1=a1a2…an-1.若数列{bn}(n∈N*)满足bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2.

(1)求b5;

(2)求证：当n≥5时，bn+1-bn=-1;

(3)求证：仅存在两个正整数m，使得a1a2…am=a12+a22+…+am2.

(1)解析:b5=1×2×3×4×5-12-22-32-42-52=65.

(2)证明：bn+1=a1a2…anan+1-a12-a22-…-an2-an+12

=a1a2…an（a1a2…an-1）-a12-a22-…-a2n-(a1a2…an-1)2

=a1a2…an-a12-a22-…-an2-1

=bn-1(n≥5),

∴bn+1-bn=-1(n≥5).

(3)证明：易算出b1=0,b2≠0,b3≠0,b4≠0,

当n≥5时，bn+1=bn-1,这表明{bn}从第5项开始，构成一个以b5=65为首项，公差为-1的等差数列.

由bm=b5+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出m=70.

因此，满足a1a2…am=a12+a22+…+am2的正整数只有两个：

m=70或m=1.

练习册系列答案
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已知数列{an-n}是等比数列，且满足a1=2，an+1=3an-2n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
（2011•韶关模拟）已知数列{an} (n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）当θ=
π
4
时，求{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b1=1．求证：对于?n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）对于θ∈(0，
π
2
)，设{an}的前n项和为Sn，试比较Sn+2与
4
sin22θ
的大小．
已知数列{an}(n∈N*)是等比数列，且an＞0，a1=2，a3=8，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1；
（3）设bn=2log2an+1，求数列{bn}的前100项和．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求dk；
（3）对（2）题中的dk，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足
MN
=
AB
，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列；
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．

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