Question

（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为S_n，数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求d_k；
（3）对（2）题中的d_k，设A（1，5d₁），B（2，5d₂），动点M，N满足

MN

=

AB

，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）由条件得Sn=

n

2

(n-1)，再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，从而b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．最后由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成递增的等差数列，即可求出公差为d_k；
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）设当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x-3m≤3，由是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），再设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x_N，y_N），利用向量相等得到

xN-x=1 yN-y=12

，从而建立坐标之间的关系，即可求出求f（x）．

解答：解：（1）由条件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)
所以an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，
所以b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k．
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1g（x），b_2k+1依次成递增的等差数列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

．
（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即

MN

=

AB

=（1，12）
当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）时，g（x）=lg（x-3m），（0＜x-3m≤3），
由y=g（x）是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x-3m）=lg（x-3m），
设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x_N，y_N），
则

xN-x=1 yN-y=12

．
而y_N=lg（x_N-3m），（3m＜x_N≤3m+3（m∈Z）），
于是，y+12=lg（x+1-3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），
所以，f（x）=lg（x+1-3m）-12，（3m-1＜x≤3m+2（m∈Z））．

点评：本题考查等差数列、数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．