Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，

AB

•

AC

=8，∠BAC=θ，a=4．
（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2cos2θ-

3

的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则，化简

AB

•

AC

=8得到一个关系式，记作①，然后再根据余弦定理表示出a的平方，记作②，把①代入②得到b和c的平方和的值，然后根据基本不等式得到bc的范围，进而得到bc的最大值，根据bc的范围，由①得到cosθ的范围，根据三角形内角θ的范围，利用余弦函数的图象与性质即可得到θ的范围；
（Ⅱ）把f（θ）利用二倍角的余弦函数公式化简后，提取2后，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据（Ⅰ）中θ的范围，利用正弦函数的值域，即可得到f（θ）的最小值和最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为

AB

•

AC

=bc•cosθ=8，
根据余弦定理得：b²+c²-2bccosθ=4²，
即b²+c²=32，（2分）
又b²+c²≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，（4分）
即

8

cosθ

≤16，
所以cosθ≥

1

2

，又0＜θ＜π，
所以0＜θ≤

π

3

；（6分）
（Ⅱ）f(θ)=

3

•[1-cos(

π

2

+2θ)]+1+cos2θ-

3

=

3

sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+

π

6

)+1，（9分）
因0＜θ≤

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ+

π

6

)≤1，（10分）
当2θ+

π

6

=

5π

6

即θ=

π

3

时，f(θ)min=2×

1

2

+1=2，（11分）
当2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

时，f（θ）_max=2×1+1=3．（12分）

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用余弦定理及基本不等式化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．