题目内容
已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在直线y=2x上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N+），且b3=11，S9=153．bn+2-2bn+1+bn=0
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项；
（Ⅱ）设cn=an•bn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
【答案】分析：（I）由题意可得an+1=2an，即数列an为等比数列，代入等比数列的通项可求an；由bn+2-2bn+1+bn=0⇒bn+2-bn+1=bn+1-bn，从而可得数列bn为等差数列，结合题中所给条件可求公差d，首项b1，进一步可求数列的通项．
（II）由（I）可知数列anbn分别为等差、等比数列，对数列cn求和用错位相减．
解答：解：（Ⅰ）点（an，an+1）在直线y=2x上，
∴
，数列{an}为等比数列，
又a1=2，∴an=2n．
∵bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn═b2-b1
即数列{bn}为等差数列，∵b1=11，S9=153，设首项为b1，公差为d．
b1+2d=1
，解得b1=5，d=3，∴bn=3n+2
（Ⅱ）cn=bn•an=（3n+2）•2n∴Tn=5•2+8•22++（3n+2）•2n①
2Tn=5•22+8•23++（3n+2）•2n+1②
①-②得：-Tn=5•2+3•22++3•2n-（3n+2）•2n+1
∴Tn=（3n-1）•2n+1+2
点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式、定义，属于对基本概念、基本公式的考查，还考查了求和方法的乘公比错位相减求和，属于基础题中档题．
（II）由（I）可知数列anbn分别为等差、等比数列，对数列cn求和用错位相减．
解答：解：（Ⅰ）点（an，an+1）在直线y=2x上，
∴
，数列{an}为等比数列，又a1=2，∴an=2n．
∵bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn═b2-b1
即数列{bn}为等差数列，∵b1=11，S9=153，设首项为b1，公差为d．
b1+2d=1
，解得b1=5，d=3，∴bn=3n+2（Ⅱ）cn=bn•an=（3n+2）•2n∴Tn=5•2+8•22++（3n+2）•2n①
2Tn=5•22+8•23++（3n+2）•2n+1②
①-②得：-Tn=5•2+3•22++3•2n-（3n+2）•2n+1
∴Tn=（3n-1）•2n+1+2
点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式、定义，属于对基本概念、基本公式的考查，还考查了求和方法的乘公比错位相减求和，属于基础题中档题．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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