Question

【题目】设函数f（x）=x2+aln（x+1）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln 有两个极值点x1 ， x2且x1＜x2 ， 求证F（x2）＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， = ，（x＞﹣1），
令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．
①当△＜0，即a 时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0，
故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
②当△=0，即a= 时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号，
故函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增；
③当△＞0，即a＜ 时，g（x）=0的两个根为 ， ，
当 ，即a≤0时，x1≤﹣1，当0＜a＜ 时，x1＞﹣1．
故当a≤0时，函数f（x）在（﹣1， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增；
当0＜a＜ 时，函数f（x）在（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增，
在（ ， ）单调递减．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln ，∴F′（x）=f′（x），
∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜ ，0＜ ＜1，
故此时x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），
∴F（x2）= +aln（1+x2）+ln
= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，
设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，其中﹣ ，
则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），
由于﹣ 时，h′（x）＞0，
故函数h（x）在（﹣ ，0）上单调递增，
故h（x）．h（﹣ ）= ．
∴F（x2）=h（x2）＞
【解析】（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， = ，令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜ ，0＜ ＜1，由此推导出x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），F（x2）= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，构造函数h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，能够证明F（x2）＞ ．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．