Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求证： 函数是偶函数；

（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）的取值范围为；（3）的取值范围为.

【解析】试题分析: （1）当时， ，定义域为．判断即可证明;

（2）由题意知， 在上恒成立，

即在上恒成立． 分当时，当时，当时，三种情况讨论可得实数的取值范围；

（3）当时， ，有唯一零点，不符合题意；

当时，

①若，则，因此在内无零点，可判断在内最多有两个零点，不符合题意；

②若，则，所以在上单调增，

在上单调减，而， ，

所以在内有两个零点， 再分，和两种情况讨论,可得实数的取值范围．

试题解析:（1）当时， ，定义域为．

因为对任意的，都有，

所以函数是偶函数．

（2）由题意知， 在上恒成立，

即在上恒成立．

①当时， ，

因为当时， 取得最小值，所以；

②当时， 恒成立；

③当时， ，

因为，所以的值域为，所以．

综上所述， 的取值范围为．

（3）当时， ，有唯一零点，不符合题意；

当时，

①若，则，所以在上单调增，则，

因此在内无零点，

而在内最多有两个零点，不符合题意；

②若，则，所以在上单调增，

在上单调减，而， ，

所以在内有两个零点，

若，则，所以在上单调减，又，

此时在内无零点，不符合题意；

若，则，所以在上单调增，

在上单调减，

要使在内有两个零点，则，

即，故．

综上所述， 的取值范围为．