题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ （n∈N^）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n；
（3）若不等式 $数学公式$ （a＞0且a≠1）对一切n∈N^恒成立，求实数x的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，①当n≥2时， $\text{[math]}$ ，②
两式相减得 $\text{[math]}$ ，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
当n≥2时， $\text{[math]}$ 为定值，（2分）
所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，（3分）
（2）由 $\text{[math]}$ ，令n=1，得a₁=-2．所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n（5分）
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，
相减得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．（8分）
（3）令 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （9分） $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （10分）
∴当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增；（11分）
∵当n＞5时，-n²+7n-12＜0从而 $\text{[math]}$ ＜3∴当n＞5时，P_n＜3
∵P₁=3-1=2， $\text{[math]}$ ，P₃=P₄=3， $\text{[math]}$
∴当n∈N^*时，P_n的最大值为3（13分）
∵不等式 $\text{[math]}$ （a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴log_ax＞3．（14分）
故当a＞1时，x≥a³；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．（16分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，两式相减得 $\text{[math]}$ ，由此能够导出数列{a_n-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．
（2）先求得到a_n-1=-3ⁿ．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 再由错位相减法能够得到数列 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n；
（3）令 $\text{[math]}$ ，证明当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增，所以当n＞5时，P_n＜3，又因为P₁=3-1=2， $\text{[math]}$ ，P₃=P₄=3， $\text{[math]}$ ，所以当n∈N^*时，P_n的最大值为3，从而有log_ax＞3．故可解．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行解题．