Question

已知f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c
（1）若f（x）的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈（-1，2），f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）图象有与x轴平行的切线，即切线斜率为0，也就是存在x使得导函数为0，对原函数求导令其等于0即可解决；
（2）在极值处导函数为0，可以求出b，再将恒成立问题转化为函数的最大值，利用函数的导数即可求最大值，进而解决问题．

解答：解：（1）由f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c
∴f'（x）=3x²-x+b（2分）
由己知f'（x）=0有实数解，∴△=1-12b≥0，故b≤

1

12

（3分）
（2）∵f（x）在x=1时取得极值
∴x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x₀
则

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

，∴

x0=- 2 3 b=-2

（2分）
∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，f'（x）=3x²-x-2
当x∈(-1，-

2

3

)时，f'（x）＞0；
当x∈(-

2

3

，1)时，f'（x）＜0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0
∴当x=-

2

3

时，f（x）有极大值

22

27

+c
又f(-1)=

1

2

+c，f（2）=2+c，
即当x∈[-1，2]时，f（x）的量大值为f（2）=2+c（3分）
∵对x∈（-1，2）时，f（x）＜c²恒成立，∴c²≥2+c，∴c≤-1或c≥2（3分）
故c的取值范围是：（-∞，-1]∪[2，+∞）（1分）

点评：本题考查函数的导数的几何意义，导数值是该点处切线的斜率值，以及函数的导数在函数的最值中的应用和不等式恒成立问题，属于中档题．