Question

（2013•济南二模）已知函数f(x)=

1

3

ax3+(a-2)x+c的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若g(x)=

kf′(x)

x

-2lnx在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（0）=3，f′（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；
（2）可得函数g（x）的解析式，问题转化为k≥

2x

x2+1

在区间（0，+∞）上恒成立，只需构造函数h(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），由基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）求导数可得f′（x）=ax²+a-2，…（2分）
由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0．
得

c=3 2a-2=0

，解得

c=3 a=1

．…（4分）
∴f(x)=

1

3

x3-x+3．…（5分）
（2）∵g(x)=

kf′(x)

x

-2lnx=kx-

k

x

-2lnx，…（6分）
∴g′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2+k-2x

x2

．…（8分）
∵函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），…（9分）
∴若函数y=g（x）在其定义域内为单调增函数，
则函数g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即kx²+k-2x≥0在区间（0，+∞）上恒成立．…（10分）
即k≥

2x

x2+1

在区间（0，+∞）上恒成立．
令h(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），
则h(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1（当且仅当x=1时取等号）．…（12分）
∴k≥1．…（13分）

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属基础题．