Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，半焦距为，过点作轴、轴的垂线，垂足分别点，，且四边形的面积为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知经过点的直线与椭圆交于，两点，设直线与直线的倾斜角分别为，，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）四边形的面积为2.得到，离心率，联解可得;

（2）直线的方程为,与椭圆方程联解，设点，，直线与椭圆交于，两点得，由，利用根与系数关系代入化简可得，再求出的表达式，利用两角和的正切公式可得解.

（1）∵四边形的面积为，∴.①

∵椭圆：的离心率为，∴.②

联系①②，解得，.∴.

∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，.当直线垂直于轴时，直线的方程为，

此时直线与椭圆相切，与题意不符；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由

得.

设点，，则

所以

.

故.

.

∴.

又∵，∴的取值范围为.