题目内容

已知F是椭圆5x2+9y2=45的右焦点，P为该椭圆上的动点，A（2，1）是一定点．
（1）求|PA|+
3
2
|PF|的最小值，并求相应点P的坐标；
（2）求|PA|+|PF|的最大值与最小值；
（3）过点F作倾斜角为60°的直线交椭圆于M、N两点，求|MN|；
（4）求过点A且以A为中点的弦所在的直线方程．
（1）由题意可得：e=
2
3

所以 |PA|+
3
2
|PF|=|PA|+
1
e
|PF|，
∴根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交与B点，则|PA|+
3
2
|PF2|的最小值为|AB|，
∵|AB|=
5
2
∴，|PA|+
3
2
|PF|的最小值
5
2
，并且P（
6
5
5
，1）．
（2）根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF1|=2a+|PA|-|PF2|
如图所示：因为||PA|-|PF2||≤|AF2|=1⇒-1≤|PA|-|PF2|≤1，
所以5＜6+|PA|-|PF2|＜7，即5＜|PA|+|PF1|＜7，
所以PA|+|PF|的最大值与最小值分别为5，7．
（3）由题意可得：直线方程为
3
x-y-2
3
=0，
联立直线与椭圆的方程可得：32x2-108x+63=0，
所以x1+x2=
27
8
，x1•x2=
63
32
，
由弦长公式可得：|MN|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
15
4
．
（4）由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-1=k（x-2），
代入椭圆的方程化简得：（5+9k2）x2+18k（1-2k）x+9（1-2k）2-45=0，
因为A为弦的中点，
所以x1+x2=4，即
18k(2k-1)
5+9k2
=4，解得k=-
10
9
，
所以以A为中点的弦所在的直线方程为10x+9y-29=0．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明-
a2-b2
a
＜x0＜
a2-b2
a
．
已知P为椭圆
x2
16
+
y2
12
=1上动点，F为椭圆的右焦点，点A的坐标为（3，1），则|PA|+2|PF|的最小值为（　　）
A．10+
2
B．10-
2
C．5D．7
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（　　）
A．
1
2
B．
5
5
C．
1
3
D．
2
2
如图，F1、F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40
3
，求a，b的值．
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于______．
过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=
3
2
|FB|，则椭圆的离心率等于（　　）
A．
2
3
B．
2
5
C．
1
2
D．
2
3
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=
4
5
，则C的离心率为（　　）
A．
3
5
B．
5
7
C．
4
5
D．
6
7
曲线
x2
16
+
y2
9
=1的长轴长为（　　）
A．8B．4C．6D．3

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