Question

（2006•嘉定区二模）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，则f（2006）=

1

4

．

Answer 1

分析：这种题一般来说都是周期函数，可以通过算出几组来找出规律．将f（1）代入题目中的式子，可以得到f（3）的值，依次算下去，得到的结果为：

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，这个函数是以4为周期的．再用2006除以4余2，因此，f（2006）=f（2）．

解答：解：f （x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，
f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，将f（1），f（2）代入题目中的式子，
可以得f（3）=

1

3

，f（4）=

3

5

，…
依次算下去，得到的结果为：

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，

1

2

，

1

4

，

1

3

，

3

5

，
所以，这个函数是以4为周期的．再用2006除以4余2，
因此，f（2006）=f（2）=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本小题主要考查函数的值、函数的值的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．