题目内容

已知：a，h∈R+，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2．

 

答案：
解析：

证法1：(aa3＋b3)-(aa2b＋aab2)

　　=(aa＋b)(aa2- aab＋b2)-aab(aa＋b)

　　=(aa＋b)(aa2-2aab＋b2)

　　=(aa＋b)(aa-b)2．

　　由aa，b∈R+，知aa＋b＞0，又aa≠b，则(aa-b)2＞0，进而(aa＋b)(aa-b)2＞0，即(aa3＋b3) - (aa2b＋aab2)＞0，所以aa3＋b3＞aa2b+aab2．

证法2：

　　欲证 aa3＋b3＞aa2b＋aab2，

　　即证 (aa＋b)(aa2-aab＋b2)＞aab(aa＋b)，-

　　因为 aa＋b＞0，

　　故只需证 aa2-aab＋b2＞aab，

　　即证 aa2-2aab＋b2＞0，

　　即证 (aa-b)2＞0，

　　因为 aa≠b，

　　所以 (aa-b)2＞0成立，お

　　所以 aa3＋b3＞aa2b＋aab2成立．

证法3：

<

　　由aa≠b，知(aa-b)2＞0，即aa2-2aab＋b2＞0，则aa2-aab＋b2＞aab，又aa＋b＞0，则(aa＋b)·(aa2-aab＋b2)＞aab(aa＋b)，即aa3＋b3＞aa2b＋aab2．

 


练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
设向量
s
=（x+1，y），
t
=（y，x-1），（x，y∈R）满足|
s
|+|
t
|=2
2
，已知定点A（1，0），动点P（x，y）
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过原点O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MAN的面积．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），试判断线段OG的长度是否为定值？并说明理由．
已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
b
=(
3
，2cosωx)，设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
已知：a，h∈R+，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2．

 

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