Question

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数y=g(x)=3-

5

x

不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的性质，我们可以出y=f（x）=x²在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．
（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．

解答：解：（1）∵y=x²在区间[0，1]上单调递增．（2分）
又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．（4分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数y=3-

5

x

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

g(m)=m g(n)=n

（8分）
故m、n是方程3-

5

x

=x的同号的相异实数根．∵x²-3x+5=0无实数根，∴函数y=3-

5

x

不存在“和谐区间”．（10分）
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则

h(m)=m h(n)=n

（14分）
故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵mn=

1

a2

＞0，∴m，n同号，只须△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，∴当a=3时，n-m取最大值

2 3

3

（18分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的性质，（2）中的确定性问题，要注意建立“正难则反”的思想，选择反证法来简化证明过程．