Question

在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝AD＝2a，AA₁＝a，又知∠A₁AD＝∠DAB＝∠A₁AB＝．

(1)求证：AA₁⊥截面B₁D₁C；

(2)求对角面A₁ACC₁的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图，∵B1C1＝AD＝2a　C1C＝A1A＝a　∠B1C1C＝∠A1AD＝ 　　∴在△B1C1C中，由余弦定理得B1C2＝3a2，再由勾股定理的逆定理得C1C⊥B1C，同理可证C1C⊥CD1． 　　∴C1C⊥平面B1D1C 　　又C1C∥A1A　∴A1A⊥平面B1D1C 　　(2)∵AB＝AD　∵ABCD为菱形，AC为∠BAD的平分线． 　　作A1O⊥平面AC于O，由∠A1AD＝∠A1AB　∴O∈AC 　　作A1M⊥AB于M，连OM，则OM⊥AB． 　　在Rt△A1AM中，AM＝A1A·cos＝ 　　在Rt△AOM中，AO＝AM·sec＝ 　　在Rt△A1AO中，A1O＝ 　　又在△ABC中，由余弦定理知AC＝ 　　∴SA1ACC1＝AC·A1O＝