Question

已知a、b都为正实数，且a+b=1,求证:(a+)(b+)≥.

Answer 1

证法一:∵(a+)(b+)=ab+++,

由于+≥2,故只要证明ab+≥,

即证4a²b²-17ab+4≥0,

即(4ab-1)(ab-4)≥0.

由条件a+b=1,得ab≤()²=,

∴4ab-1≤0,ab-4＜0.

∴(4ab-1)(ab-4)≥0.

∴4a²b²-17ab+4≥0.

∴4ab-17+≥0,即ab+≥.

又∵+≥2,

∴ab+++≥2+=.

∴(a+)(b+)≥.

证法二:∵a+b=1,∴(a+b)²=1,

即a²+b²=1-2ab.

要证(a+)(b+)≥,

只要证明4(a²+1)(b²+1)≥25ab,

即4a²b²+(4a²+4b²)+4≥25ab,

即4a²b²+4(1-2ab)+4-25ab≥0.

整理得4a²b²-33ab+8≥0.

只需证明(4ab-1)(ab-8)≥0.                                                 (*)

∵ab≤()²=,

∴4ab-1≤0,ab-8＜0.

∴(4ab-1)(ab-8)≥0成立.

其中当且仅当a=b=时取“=”.

∴(a+)(b+)≥.